Rationale Nummer – Wikipedia

In der Mathematik ist eine rationale Zahl eine beliebige Zahl, die als Quotient oder Bruch ausgedrückt werden kann p / q aus zwei ganzen Zahlen, einem Zähler ] p und ein Nenner ungleich Null q . [1] Da q gleich 1 sein kann, ist jede ganze Zahl eine rationale Zahl. Die Menge aller rationalen Zahlen, oft als " die Rationals " bezeichnet, das Feld der Rationalen oder das Feld der rationalen Zahlen wird gewöhnlich mit einem Fettdruck bezeichnet Q (oder Tafel fett

Q { displaystyle mathbb {Q}}

Unicode [][2] ; 1895 von Giuseppe Peano nach quoziente italienisch für "Quotient".

Die dezimale Erweiterung einer rationalen Zahl endet entweder immer nach einer endlichen Anzahl von Ziffern oder beginnt, immer wieder dieselbe endliche Folge von Ziffern zu wiederholen. Darüber hinaus repräsentiert eine sich wiederholende oder abschließende Dezimalzahl eine rationale Zahl. Diese Anweisungen gelten nicht nur für die Basis 10, sondern auch für jede andere Integer-Basis (z. B. binär, hexadezimal).

Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, wird als irrational bezeichnet. Zu den irrationalen Zahlen gehören 2 π e und . Die dezimale Erweiterung einer irrationalen Zahl setzt sich ohne Wiederholung fort. Da die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist und die Menge der reellen Zahlen unzählbar ist, sind fast alle reellen Zahlen irrational. [1]

Rationalzahlen können formal als Äquivalenzklassen von Ganzzahlpaaren definiert werden ( p q ) so dass q [0 für die durch definierte Äquivalenzbeziehung 1 q 1 ) ~ ( p 2 q 2 ) und nur dann, wenn p 1 q 2 = p 2 q 1 . Mit dieser formalen Definition wird die Fraktion p / q zur Standardnotation für die Äquivalenzklasse von ( p q . ) .

Rationale Zahlen bilden zusammen mit Addition und Multiplikation ein Feld, das die ganzen Zahlen enthält und in jedem Feld enthalten ist, das die ganzen Zahlen enthält. Mit anderen Worten, das Feld der rationalen Zahlen ist ein Primfeld, und ein Feld hat genau dann das Merkmal Null, wenn es die rationalen Zahlen als Unterfeld enthält. Endliche Erweiterungen von Q werden algebraische Zahlenfelder genannt, und die algebraische Schließung von Q ist das Feld der algebraischen Zahlen. [3]

In der mathematischen Analyse Die rationalen Zahlen bilden eine dichte Teilmenge der reellen Zahlen. Die reellen Zahlen können aus den rationalen Zahlen durch Vervollständigung mit Cauchy-Sequenzen, Dedekind-Schnitten oder unendlichen Dezimalzahlen erstellt werden.

Terminologie [ edit ]

Der Begriff rational in Bezug auf die Menge Q bezieht sich auf die Tatsache, dass eine rationale Zahl eine darstellt Verhältnis von zwei ganzen Zahlen. In der Mathematik wird "rational" oft als ein Nomen verwendet, das "rationale Zahl" abkürzt. Das Adjektiv rational bedeutet manchmal, dass die Koeffizienten rationale Zahlen sind. Ein rationaler Punkt ist zum Beispiel ein Punkt mit rationalen Koordinaten (das ist ein Punkt, dessen Koordinaten rationale Zahlen sind). eine rationale Matrix ist eine Matrix rationaler Zahlen; Ein rationales Polynom kann ein Polynom mit rationalen Koeffizienten sein, obwohl der Begriff "Polynom über den Rationalen" im Allgemeinen bevorzugt wird, um eine Verwechslung mit "rationalem Ausdruck" und "rationaler Funktion" zu vermeiden (ein Polynom ist ein rationaler Ausdruck und definiert eine rationale Funktion, auch wenn ihre Koeffizienten keine rationalen Zahlen sind. Eine rationale Kurve ist jedoch keine Kurve, die über den Rationalen definiert ist, sondern eine Kurve, die durch rationale Funktionen parametrisiert werden kann.

Arithmetik [ edit ]

Irreduzible Fraktion [ edit ]

Jede rationale Zahl kann auf einzigartige Weise als irreduzible Fraktion ausgedrückt werden a / b wobei a und b coprime-ganze Zahlen sind und b > 0 . Dies wird oft als kanonische Form bezeichnet.

Ausgehend von einer rationalen Zahl a / b kann ihre kanonische Form erhalten werden, indem a und b durch ihre größte geteilt werden gemeinsamer Divisor und, wenn b <0 das Vorzeichen des resultierenden Zählers und Nenners ändert.

Einbetten von ganzen Zahlen [ edit ]

Jede ganze Zahl n kann als rationale Zahl n / 1 ausgedrückt werden. Das ist ihre kanonische Form als rationale Zahl.

Gleichheit [ edit ]

Wenn beide Fraktionen in kanonischer Form vorliegen dann

Ordering [ edit ]

Wenn beide Nenner positiv sind und insbesondere, wenn beide Bruchteile kanonisch sind,

Wenn einer der Nenner negativ ist, muss jeder Bruch mit einem negativen Nenner zuerst in eine äquivalente Form mit einem positiven Nenner umgewandelt werden, indem die Vorzeichen seines Zählers und seines Nenners geändert werden.

Addition [ edit ]

Zwei Fraktionen werden wie folgt hinzugefügt:

Wenn beide Fraktionen in kanonischer Form vorliegen, liegt das Ergebnis genau dann in kanonischer Form vor, wenn b und d sind Coprime-Ganzzahlen.

Subtraktion [ edit ]